إصلاح التمرين رقم 4 - فرض تأليفي 1 - نموذج 1 - السنة التاسعة أساسي - الفروض مع الإصلاح

السنة التاسعة أساسي

الفروض مع الإصلاح

فرض تأليفي 1 - نموذج 1

إصلاح التمرين رقم 4

--------------------------------------------------------------

1- ابن مثلّثا \((ABC)\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(BC=8cm\) و\(AC=6cm\). و\(H\) المسقط العمودي للنقطة \(A\) على \((BC)\).

• احسب \(AB\) و\(AH\) و\(BH\) و\(CH\).

2- ليكن \((ABC)\) مثلّثا قائم الزاوية في \(A\). و\(H\) المسقط العمودي للنقطة \(A\) على \((BC)\).

• بيّن أنّ \(\displaystyle \frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}\)

1- أبني مثلّثا \((ABC)\) قائم الزاوية في \(A\) حيث \(BC=8cm\) و\(AC=6cm\). و\(H\) المسقط العمودي للنقطة \(A\) على \((BC)\).

* أحسب \(AB\).

نعلم من خلال نظريّة بيتاغور في المثلث \(ABC\) أنّ :

\(\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\)

وبالتالي :

\(\displaystyle AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}\)

إذا :

\(\displaystyle AB^{2}=8^{2}-6^{2}\)

\(\displaystyle AB^{2}=8^{2}-6^{2}=64-36=28\)

إذا :

\(\displaystyle AB=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\)

* أحسب \(AH\).

بما أنّ :

\(\displaystyle BC\times AH=AC\times AB\)

إذا :

\(\displaystyle AH=\frac{AB\times AC}{BC}=\frac{2\sqrt{7}\times 6}{8}=\frac{3\sqrt{7}}{2}\)

* أحسب \(BH\).

نعلم من خلال نظريّة بيتاغور في المثلث \(HAB\) أنّ :

\(\displaystyle AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}\)

وبالتالي :

\(\displaystyle BH^{2}=AB^{2}-AH^{2}\)

إذا :

\(\displaystyle BH^{2}=(2\sqrt{7})^{2}-(\frac{3\sqrt{7}}{2})^{2}=\frac{49}{4}\)

وبالتالي :

\(\displaystyle BH=\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2}\)

* أحسب \(CH\).

\(\displaystyle CH=BC-BH=8-\frac{7}{2}=\frac{9}{2}\)

2- ليكن \((ABC)\) مثلّثا قائم الزاوية في \(A\). و\(H\) المسقط العمودي للنقطة \(A\) على \((BC)\).

أبيّن أنّ \(\displaystyle \frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}\)

بما أنّ :

\(\displaystyle BC\times AH=AC\times AB\)

إذا :

\(\displaystyle \displaystyle AH=\frac{AB\times AC}{BC}\)

و :

\(\displaystyle \frac{1}{AH}=\frac{BC}{AB\times AC}\)

وكذلك :

\(\displaystyle \frac{1}{AH^{2}}=\frac{BC^{2}}{AB^{2}\times AC^{2}}\)

وبما أنّ \(BC^{2}\) حسب نظرية بيتاغور في المثلث القائم تساوي \(AB^{2}+AC^{2}\) فإنّ :

\(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{AH^{2}}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{AB^{2}\times AC^{2}}\)

وبالتالي :

\(\displaystyle \frac{1}{AH^{2}}=\frac{AB^{2}}{AB^{2}\times AC^{2}}+\frac{AC^{2}}{AB^{2}\times AC^{2}}\)

إذا :

\(\displaystyle \frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AC^{2}}+\frac{1}{AB^{2}}\)

فرض تأليفي 1 - نموذج 1 - السنة التاسعة أساسي - الفروض مع الإصلاح