إصلاح التمرين رقم 4 - فرض تأليفي 1 - نموذج 1 - السنة التاسعة أساسي - الفروض مع الإصلاح

السنة التاسعة أساسي

الفروض مع الإصلاح

فرض تأليفي 1 - نموذج 1

إصلاح التمرين رقم 4

--------------------------------------------------------------

1- ابن مثلّثا $(ABC)$ قائم الزاوية في $A$ حيث $BC=8cm$ و$AC=6cm$. و$H$ المسقط العمودي للنقطة $A$ على $(BC)$.

• احسب $AB$ و$AH$ و$BH$ و$CH$.

2- ليكن $(ABC)$ مثلّثا قائم الزاوية في $A$. و$H$ المسقط العمودي للنقطة $A$ على $(BC)$.

• بيّن أنّ $\displaystyle \frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$

1- أبني مثلّثا $(ABC)$ قائم الزاوية في $A$ حيث $BC=8cm$ و$AC=6cm$. و$H$ المسقط العمودي للنقطة $A$ على $(BC)$.

* أحسب $AB$.

نعلم من خلال نظريّة بيتاغور في المثلث $ABC$ أنّ :

$\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$

وبالتالي :

$\displaystyle AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}$

إذا :

$\displaystyle AB^{2}=8^{2}-6^{2}$

$\displaystyle AB^{2}=8^{2}-6^{2}=64-36=28$

إذا :

$\displaystyle AB=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$

* أحسب $AH$.

بما أنّ :

$\displaystyle BC\times AH=AC\times AB$

إذا :

$\displaystyle AH=\frac{AB\times AC}{BC}=\frac{2\sqrt{7}\times 6}{8}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$

* أحسب $BH$.

نعلم من خلال نظريّة بيتاغور في المثلث $HAB$ أنّ :

$\displaystyle AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}$

وبالتالي :

$\displaystyle BH^{2}=AB^{2}-AH^{2}$

إذا :

$\displaystyle BH^{2}=(2\sqrt{7})^{2}-(\frac{3\sqrt{7}}{2})^{2}=\frac{49}{4}$

وبالتالي :

$\displaystyle BH=\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2}$

* أحسب $CH$.

$\displaystyle CH=BC-BH=8-\frac{7}{2}=\frac{9}{2}$

2- ليكن $(ABC)$ مثلّثا قائم الزاوية في $A$. و$H$ المسقط العمودي للنقطة $A$ على $(BC)$.

أبيّن أنّ $\displaystyle \frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$

بما أنّ :

$\displaystyle BC\times AH=AC\times AB$

إذا :

$\displaystyle \displaystyle AH=\frac{AB\times AC}{BC}$

و :

$\displaystyle \frac{1}{AH}=\frac{BC}{AB\times AC}$

وكذلك :

$\displaystyle \frac{1}{AH^{2}}=\frac{BC^{2}}{AB^{2}\times AC^{2}}$

وبما أنّ $BC^{2}$ حسب نظرية بيتاغور في المثلث القائم تساوي $AB^{2}+AC^{2}$ فإنّ :

$\displaystyle \displaystyle \frac{1}{AH^{2}}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{AB^{2}\times AC^{2}}$

وبالتالي :

$\displaystyle \frac{1}{AH^{2}}=\frac{AB^{2}}{AB^{2}\times AC^{2}}+\frac{AC^{2}}{AB^{2}\times AC^{2}}$

إذا :

$\displaystyle \frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AC^{2}}+\frac{1}{AB^{2}}$

فرض تأليفي 1 - نموذج 1 - السنة التاسعة أساسي - الفروض مع الإصلاح